Flocon de von Koch.


En 1904, Helge von Koch (1870-1924 - Suède) publie l'article : « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire » qui décrit la ligne actuellement connue sous le nom de 'flocon de von Koch'.

La méthode.

Pour tracer cette courbe, il faut:

Un peu d'aide.

Reprenons la construction de la première étape:


Si on considère que les points a et b ont pour coordonnées (xa,ya) et (xb,yb), nous obtenons:

Comment faire?

Pour la mise en oeuvre de l'algorithme, on peut utiliser plusieurs techniques dont:
Notes.

Le flocon de von Koch a des longueurs successives de:
état initial: L1 = 3 * L (3 côtés de longueur L)
état 1:  L2 = 3 * 4 * (L/3) = L1 * 4/3 (12 côtés de longueur L/3)
état 2:  L3 = 3 * 4 * 4 * (L/9) = L2 * 4/3  (48 côtés de longueur L/9)
....
Cette longueur tend donc vers l'infini puisque multipliée à chaque étape par 4/3>1. De plus, chacun de ses points devient un point anguleux et donc la dérivée n'y existe pas. On se trouve ainsi en présence d'une courbe de longueur infinie et 'dérivable nulle part', délimitant une surface finie (inférieure à celle du cercle circonscrit au triangle initial).

Les implémentations en Delphi.

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